Formules d'addition et soustraction

Propriétés

Pour tout \(\alpha, \beta\) réels 

• \(\text{cos}(\alpha+\beta)= \text{cos}(\alpha) \text{cos}(\beta)-\text{sin}(\alpha) \text{sin}(\beta)\)
  
• \(\text{cos}(\alpha-\beta)= \text{cos}(\alpha) \text{cos}(\beta)+\text{sin}(\alpha) \text{sin}(\beta)\)
  
• \(\text{sin}(\alpha+\beta)= \text{sin}(\alpha) \text{cos}(\beta)+\text{cos}(\alpha) \text{sin}(\beta)\)
  
• \(\text{sin}(\alpha-\beta)= \text{sin}(\alpha) \text{cos}(\beta)-\text{cos}(\alpha) \text{sin}(\beta)\)
  

Exemples

Les formules d'addition et de soustraction permettent de calculer les valeurs exactes de sinus et cosinus comme :
\(\text{cos}\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac 1 2 \times \dfrac{\sqrt 2}{2}- \dfrac{\sqrt 3}{2}\times \dfrac{\sqrt 2}{2}\)

\(\text{cos}\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

\(\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\times\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\ \times \dfrac{\sqrt 2}{2}-\dfrac 1 2\times \dfrac{\sqrt 2}{2}\)

\(\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

On retrouve ainsi la relation \(\text{cos}\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{12}\right)=-\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) . Les formules d'addition et de soustraction permettent de démontrer les relations des angles associés. 

Démonstration

On propose ici une preuve visuelle des formules d'addition.
Sur le dessin suivant,  \(\alpha\) est la mesure de l'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) , \(\beta\) est la mesure de l'angle \(\widehat{\text{CAD}}\) et \(\text{AD}=1\) .

1. Rédiger un protocole de construction de la figure. Justifier que la mesure de l'angle   \(\widehat{\text{ECD}}\) est \(\alpha\) .
2. Identifier les segments de longueurs respectives \(\text{cos}(\alpha+\beta)\) et \(\text{sin}(\alpha+\beta)\) .
3. Justifier \(\text{BC}=\text{sin}(\alpha)\text{cos}(\beta)\) et   \(\text{CE}=\text{cos}(\alpha)\text{sin}(\beta)\) .
4. Exprimer  \(\text{AB}\) et  \(\text{DE}\) en fonction de  \(\text{cos}(\alpha),\text{cos}(\beta),\text{sin}(\alpha),\text{sin}(\beta)\) . 
5. En remarquant que   \(\text{DE}=\text{FB}\) puis \(\text{AB}=\text{AF+FB}\) et \(\text{BE}=\text{BC+CE}\) conclure. 

Les formules de soustraction se démontrent à partir de celles de l'addition en écrivant
\(\text{cos}(\alpha-\beta)=\text{cos}(\alpha+(-\beta))\) et \(\text{sin}(\alpha-\beta)=\text{sin}(\alpha+(-\beta))\) et en utilisant les formules des angles associés.